class: center, middle, inverse, title-slide # Endogeneidad ## Econometría I ### Paula Pereda (<a href="mailto:ppereda@correo.um.edu.uy" class="email">ppereda@correo.um.edu.uy</a>) ### 29 de octubre de 2021 --- class: inverse, middle # Causalidad --- ## Intro La mayoría de las tareas de la econometría se reducen a uno de los dos objetivos: $$ `\begin{align} y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_k x_k + u \end{align}` $$ -- 1. .hi-purple[Predicción:] Precisión y fiabilidad .purple[predicción/pronóstico] `\(\color{#6A5ACD}{y}\)` utilizando un conjunto de variables explicativas-no es necesario que sean `\(x_1\)` hasta `\(x_k\)`. Se centra en `\(\color{#6A5ACD}{hat{y}}\)`. `\(\beta_j\)` no importa realmente. -- 1. .hi[Estimación causal:].super[.pink[†]] La estimación del proceso real de generación de datos-aprendizaje del modelo poblacional verdadero que explica .pink[cómo] `\(\color{#e64173}{y}\)` .pink[cambia cuando cambiamos] `\(\color{#e64173}{x_j}\)`-se centra en `\(\color{#e64173}{beta_j}\)`. La precisión de `\(\hat{y}\)` no es importante. .footnote[ .pink[†] Usualmente llamado *identificación causal*. ] --- name: challenges ## Los desafíos Como hemos visto hasta ahora, determinar y estimar el verdadero modelo puede ser bastante difícil, tanto en términos .purple[prácticos] como .pink[econométricos]. -- .pull-left[.purple[ **Desafíos prácticos** - ¿Qué variables? - ¿Qué forma(s) funcional(es)? - ¿Existen datos? ¿Cuántos? - ¿Es representativa la muestra? ]] -- .pull-right[.pink[ **Desafíos econométricos** - Sesgo de variable omitida - Causalidad inversa - Error de medición - ¿Qué precisión podemos/debemos tener? ]] -- Muchos de estos retos se relacionan con la .hi-slate[exogeneidad], _es decir_, `\(\color{#314f4f}{\mathop{\boldsymbol{E}}\left[ u_i | X \right] = 0}\)`. --- ## Es complicado Ocasionalmente, las relaciones .hi[*causales*] se pueden entender simplemente, _por ejemplo_, -- - ¿Qué ha .pink[provocado] el incendio forestal? - .pink[¿Cómo] llegó este bebé aquí? -- En general, las relaciones .hi[*causales*] son complejas y difíciles de responder, _por ejemplo_, -- - ¿Qué causa el crecimiento de algunos países y el declive de otros? - ¿Qué .pink[causó] la elección del presidente Trump en 2016? - .pink[¿Cómo] afecta el número de policías a la delincuencia? - ¿Cuál es el efecto de una mejor calidad del aire en los resultados de los exámenes? - ¿Las penas de prisión más largas disminuyen la delincuencia? - ¿Cómo afectó la legalización del cannabis a la salud mental y a la adicción a los opioides? --- ## Correlación ≠ Causalidad Es probable que hayan escuchado el dicho > Correlación no es causalidad. El refrán sólo señala que hay violaciones de la exogeneidad. -- Aunque la correlación no es causalidad, .hi [la causalidad *requiere* correlación]. -- .hi-slate[Nueva frase:] > Correlación más exogeneidad es causalidad. --- layout: false class: clear, middle Veamos algunos ejemplos. --- layout: true # Causalidad --- name: fertilizer ## Ejemplo: El efecto causal del abono.super[.pink[†]] .footnote[ .pink[†] Muchos de los primeros estudios estadísticos y econométricos incluían ensayos de campo agrícolas. ] Supongamos que queremos conocer el efecto causal del fertilizante sobre el rendimiento del maíz. -- **P:** ¿Podríamos simplemente hacer una regresión del rendimiento en función del fertilizante? -- <br>**R:** Probablemente no (si queremos el efecto causal). -- <br><br>**P:** ¿Por qué no? -- <br>**R:** Sesgo de variable omitida: Los agricultores pueden aplicar menos fertilizantes en zonas que ya son peores en otras dimensiones que afectan al rendimiento (suelo, pendiente, agua).<br>.pink[Viola *todo lo demás igual* (exogeneidad). Resultados sesgados y/o espurios]. -- <br><br>**P:** Entonces, ¿qué *deberíamos* hacer? -- <br>**R:** .hi[¡Hacer un experimento!] -- 💩 --- ## Ejemplo: El efecto causal del fertilizante Los experimentos aleatorios nos ayudan a mantener *todo lo demás igual* (exogeneidad). -- A menudo llamamos a estos experimentos .hi[*randomized control trials*] (RCT)..super[.pink[†]] .footnote[ .pink[†] La econometría (y la estadística) toma prestado este lenguaje de la bioestadística y los ensayos farmacéuticos. ] -- Imaginemos un RCT en el que tenemos dos grupos: - .hi-slate[Tratamiento:] Aplicamos fertilizante. - .hi-slate[Control:] No aplicamos fertilizante. -- Al distribuir aleatoriamente las parcelas en .hi-slate[tratamiento] o .hi-slate[control], incluiremos, en promedio, todos los tipos de tierra (suelo, pendiente, agua, *etc.*) en ambos grupos. -- *¡Todo lo demás es igual*! --- class: clear .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot1-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot2-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_1-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_2-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_3-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_4-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_5-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_6-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_7-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_8-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_9-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_10-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_11-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: clear count: false .hi-slate[54 parcelas de igual tamaño] .hi[de distinta calidad] .hi-orange[más el tratamiento asignado al azar] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_12-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- ## Ejemplo: El efecto causal del fertilizante Podemos estimar el .hi[efecto causal] del fertilizante sobre el rendimiento de los cultivos comparando el rendimiento medio del grupo de tratamiento (💩) con el grupo de control (sin 💩). $$ `\begin{align} \overline{\text{Rendimiento}}_\text{Tratamiento} - \overline{\text{Rendimiento}}_\text{Control} \end{align}` $$ -- Como alternativa, podemos utilizar la regresión -- $$ `\begin{align} \text{Rendimiento}_i = \beta_0 + \beta_1 \text{Trt}_i + u_i \tag{1} \end{align}` $$ donde `\(\text{Trt}_i\)` es una variable binaria (=1 si la parcela `\(i\)` recibió el tratamiento de fertilización). -- **P:** ¿Debemos esperar que `\((1)\)` satisfaga la exogeneidad? ¿Por qué? -- <br>**R:** Por término medio, .hi[la asignación aleatoria del tratamiento debe equilibrar] trt. y control en las demás dimensiones que afectan al rendimiento (suelo, pendiente, agua). --- layout: true # Causalidad ## Ejemplo: Retornos a la educación --- name: returns Los economistas laborales, los responsables políticos, los padres y los estudiantes están interesados en el *retorno monetario de la educación*. -- .hi-slate[Experimento mental:] - Selecciona al azar un individuo. - Dale un año más de educación. - ¿Cuánto aumentan sus ingresos? Este cambio en los ingresos nos da el .hi-slate[efecto causal] de la educación sobre los ingresos. --- **P:** ¿Podríamos simplemente hacer una regresión de los ingresos en función de la educación? -- <br>**R:** De nuevo, probablemente no si queremos el verdadero efecto causal. -- 1. La gente *elige* la educación en función de muchos factores, *por ejemplo*, la capacidad. 1. La educación probablemente reduzca la experiencia (tiempo fuera de la fuerza de trabajo). 1. La educación es .hi[*endógena*] (viola la *exogeneidad*). -- El punto (2) anterior también ilustra la dificultad de aprender sobre la educación manteniendo todo lo demás constante. Muchas variables importantes tienen el mismo reto: género, raza, ingresos. --- **P:** Entonces, ¿cómo podemos estimar los rendimientos de la educación? -- .hi-slate[Opción 1:] Correr un .hi[experimento]. -- - Aleatoriamente .pink[asignar educación] (podría ser difícil). - Aleatoriamente .pink[fomentar la educación] (podría funcionar). - Aleatoriamente .pink[asignar programas] que afecten a la educación (*por ejemplo, tutorías). -- .hi-slate[Opción 2:] Busque un .hi-purple[*experimento natural*]-una política o accidente en la sociedad que haya aumentado arbitrariamente la educación de un subconjunto de personas. -- - Admisiones .purple[límites] - .purple[lotería] inscripción y/o capacidad .purple[limitaciones] --- layout: true # Causalidad --- name: real ## Experimentos reales En ambos ejemplos se consideran .hi-slate[experimentos reales] que aíslan los efectos causales. .hi-slate[Características] - .purple[Realizable]-podemos realmente (potencialmente) realizar el experimento. - .morado[Comparar individuos] aleatorizados en el tratamiento con individuos aleatorizados en el control. - .purple[Requiere una "buena" aleatorización] para obtener *todo lo demás igual* (exogeneidad). -- *Nota:* Los resultados de su experimento son sólo tan buenos como su aleatorización. --- class: clear count: false .hi-slate[Una aleatorización desafortunada] <img src="index_files/figure-html/fertilizer_plot3_bad-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- layout: true # Causalidad ## El experimento ideal --- name: ideal El .hi[experimento ideal] sería sutilmente diferente. En lugar de comparar unidades aleatorizadas como .pink[tratamiento] frente a .pink[control], el experimento ideal compararía el tratamiento y el control .hi[para la misma y exacta unidad]. -- $$ `\begin{align} y_{\text{Tratamiento},i} - y_{\text{Control},i} \end{align}` $$ -- que escribiremos (para simplificar) como $$ `\begin{align} y_{1,i} - y_{0,i} \end{align}` $$ -- Este .pink[*experimento ideal*] es claramente inviable.super[.pink[†]], pero crea una bonita notación para la causalidad (el modelo causal de Rubin/marco de resultados potenciales de Neyman). .footnote[ .pink[†] Sin (1) habilidades similares a las de Dios y múltiples universos o (2) una máquina del tiempo. ] --- .pull-left[ The *ideal* data for 10 people ``` > i trt y1i y0i > 1 1 1 5.01 2.56 > 2 2 1 8.85 2.53 > 3 3 1 6.31 2.67 > 4 4 1 5.97 2.79 > 5 5 1 7.61 4.34 > 6 6 0 7.63 4.15 > 7 7 0 4.75 0.56 > 8 8 0 5.77 3.52 > 9 9 0 7.47 4.49 > 10 10 0 7.79 1.40 ``` ] -- .pull-right[ Calcula el efecto causal del trt. $$ `\begin{align} \tau_i = y_{1,i} - y_{0,i} \end{align}` $$ para cada individuo `\(i\)`. ] --- count: false .pull-left[ Los datos *ideales* para 10 personas ``` > i trt y1i y0i effect_i > 1 1 1 5.01 2.56 2.45 > 2 2 1 8.85 2.53 6.32 > 3 3 1 6.31 2.67 3.64 > 4 4 1 5.97 2.79 3.18 > 5 5 1 7.61 4.34 3.27 > 6 6 0 7.63 4.15 3.48 > 7 7 0 4.75 0.56 4.19 > 8 8 0 5.77 3.52 2.25 > 9 9 0 7.47 4.49 2.98 > 10 10 0 7.79 1.40 6.39 ``` ] .pull-right[ Calcula el efecto causal del trt. $$ `\begin{align} \tau_i = y_{1,i} - y_{0,i} \end{align}` $$ para cada individuo `\(i\)`. ] --- count: false .pull-left[ Los datos *ideales* para 10 personas ``` > i trt y1i y0i effect_i > 1 1 1 5.01 2.56 2.45 > 2 2 1 8.85 2.53 6.32 > 3 3 1 6.31 2.67 3.64 > 4 4 1 5.97 2.79 3.18 > 5 5 1 7.61 4.34 3.27 > 6 6 0 7.63 4.15 3.48 > 7 7 0 4.75 0.56 4.19 > 8 8 0 5.77 3.52 2.25 > 9 9 0 7.47 4.49 2.98 > 10 10 0 7.79 1.40 6.39 ``` ] .pull-right[ Calcula el efecto causal del trt. $$ `\begin{align} \tau_i = y_{1,i} - y_{0,i} \end{align}` $$ para cada individuo `\(i\)`. La media `\(\tau_i\)` es el<br>.hi[average treatment effect] (.pink[ATE]). Entonces, `\(\color{#e64173}{\overline{\tau} = 3.82}\)` ] --- Este modelo pone de manifiesto el problema fundamental de la inferencia causal. $$ `\begin{align} \tau_i = \color{#e64173}{y_{1,i}} &- \color{#6A5ACD}{y_{0,i}} \end{align}` $$ -- .hi-slate[El desafío:] Si observamos `\(\color{#e64173}{y_{1,i}}\)` entonces no podemos observar `\(\color{#6A5ACD}{y_{0,i}}\)`. <br>Si observamos `\(\color{#6A5ACD}{y_{0,i}}\)`, entonces no podemos observar `\(\color{#e64173}{y_{1,i}}\)`. --- Por lo tanto, un conjunto de datos que realmente observamos para 6 personas será algo así como .pull-left[ ``` > i trt y1i y0i > 1 1 1 5.01 NA > 2 2 1 8.85 NA > 3 3 1 6.31 NA > 4 4 1 5.97 NA > 5 5 1 7.61 NA > 6 6 0 NA 4.15 > 7 7 0 NA 0.56 > 8 8 0 NA 3.52 > 9 9 0 NA 4.49 > 10 10 0 NA 1.40 ``` ] -- .pull-right[ No podemos observar `\(\color{#e64173}{y_{1,i}}\)` y `\(\color{#6A5ACD}{y_{0,i}}\)`. Pero, si observamos - `\(\color{#e64173}{y_{1,i}}\)` para `\(i\)` en 1, 2, 3, 4, 5 - `\(\color{#6A5ACD}{y_{0,j}}\)` para `\(j\)` en 6, 7, 8, 9, 10 ] -- **P:** ¿Cómo "rellenamos" los `NA`s y estimamos `\(\overline{\tau}\)`? --- layout: true # Causalidad ## Estimación causal del efecto del tratamiento --- name: estimation .hi-slate[Notación:] Sea `\(D_i\)` una variable indicadora binaria tal que - `\(\color{#e64173}{D_i=1}\)` .pink[si el individuo] `\(\color{#e64173}{i}\)` .pink[es tratado] - `\(\color{#6A5ACD}{D_i=0}\)` .purple[si el individuo] `\(\color{#6A5ACD}{i}\)` .purple[no es tratado (grupo de *control*)]. -- Entonces, reformulando la diapositiva anterior, - Sólo observamos `\(\color{#e64173}{y_{1,i}}\)` cuando `\(\color{#e64173}{D_{i}=1}\)`. - Sólo observamos `\(\color{#6A5ACD}{y_{0,i}}\)` cuando `\(\color{#6A5ACD}{D_{i}=0}\)`. -- **P:** ¿Cómo podemos estimar `\(\overline{\tau}\)` usando solamente `\(\left(\color{#e64173}{y_{1,i}|D_i=1}\right)\)` y `\(\left(\color{#6A5ACD}{y_{0,i}|D_i=0}\right)\)`? --- **P:** ¿Cómo podemos estimar `\(\overline{\tau}\)` usando solamente `\(\left(\color{#e64173}{y_{1,i}|D_i=1}\right)\)` y `\(\left(\color{#6A5ACD}{y_{0,i}|D_i=0}\right)\)`? -- **Idea:** What if we compare the groups' means? ,_es decir_, $$ `\begin{align} \color{#e64173}{\mathop{Promedio}\left( y_i\mid D_i = 1 \right)} - \color{#6A5ACD}{\mathop{Promedio}\left( y_i\mid D_i =0 \right)} \end{align}` $$ -- **P:** ¿Cuándo esta simple diferencia en las medias de los grupos proporciona información sobre el .hi-slate[efecto causal] del tratamiento? -- **P.sub[2.0]:** ¿Es `\(\color{#e64173}{\mathop{Promedio}\left( y_i\mid D_i = 1 \right)} - \color{#6A5ACD}{\mathop{Promedio}\left( y_i\mid D_i =0 \right)}\)` un *buen* estimador para `\(\overline{\tau}\)`? -- ¡Hora de las matemáticas! .bigger[🎉] --- .hi-slate[Supuesto:] Sea `\(\tau_i = \tau\)` para todos los `\(i\)`. Esta suposición dice que el efecto del tratamiento es igual (constante) en todos los individuos `\(i\)`. -- .hi-slate[Nota:] Definimos $$ `\begin{align} \tau_i = \tau = \color{#e64173}{y_{1,i}} - \color{#6A5ACD}{y_{0,i}} \end{align}` $$ lo cual implica que $$ `\begin{align} \color{#e64173}{y_{1,i}} = \color{#6A5ACD}{y_{0,i}} + \tau \end{align}` $$ --- layout: false class: clear name: derivation **P.sub[3.0]:** ¿Es `\(\color{#e64173}{\mathop{Promedio}\left( y_i\mid D_i = 1 \right)} - \color{#6A5ACD}{\mathop{Promedio}\left( y_i\mid D_i =0 \right)}\)` un *buen* estimador para `\(\tau\)`? -- Diferencia de las medias de los grupos -- <br> `\(\quad \color{#ffffff}{\Bigg|}=\color{#e64173}{\mathop{Promedio}\left( y_i\mid D_i = 1 \right)} - \color{#6A5ACD}{\mathop{Promedio}\left( y_i\mid D_i =0 \right)}\)` -- <br> `\(\quad \color{#ffffff}{\Bigg|}=\color{#e64173}{\mathop{Promedio}\left( y_{1,i}\mid D_i = 1 \right)} - \color{#6A5ACD}{\mathop{Promedio}\left( y_{0,i}\mid D_i =0 \right)}\)` -- <br> `\(\quad \color{#ffffff}{\Bigg|}=\color{#e64173}{\mathop{Promedio}\left( \color{#000000}{\tau \: +} \: \color{#6A5ACD}{y_{0,i}} \mid D_i = 1 \right)} - \color{#6A5ACD}{\mathop{Promedio}\left( y_{0,i}\mid D_i =0 \right)}\)` -- <br> `\(\quad \color{#ffffff}{\Bigg|}=\tau + \color{#e64173}{\mathop{Promedio}\left(\color{#6A5ACD}{y_{0,i}} \mid D_i = 1 \right)} - \color{#6A5ACD}{\mathop{Promedio}\left( y_{0,i}\mid D_i =0 \right)}\)` -- <br> `\(\quad \color{#ffffff}{\Bigg|}= \text{Average causal effect} + \color{#FFA500}{\text{Sesgo de selección}}\)` -- Así que nuestro estimador de diferencia de grupo propuesto nos da la suma de 1. `\(\tau\)`, el .hi-slate[causal, efecto medio del tratamiento] que queremos 2. .hi-orange[Sesgo de selección:] Cuánto difieren los grupos de trt. y de control (en promedio).